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2020年9月29日 (火)

凹レンズの公式の導出-虚像

 凹レンズでできる虚像のレンズの写像公式も実像のときと同様に求めることができます。

凹レンズでできる虚像
凹レンズでできる虚像

 この図からレンズの公式を導くことができます。

 次の図で△OABと△OA’B’が相似形であることに注目します。

凹レンズの虚像の相似形
凹レンズの虚像の相似形

△OABと△OA’B’が相似形ですから、

A’B’/AB=B’O/BO=b/a ……(1)式

の関係にあります。

次に、下図で△FPOと△FA’B’が相似形であることに注目します。

凹レンズの虚像の相似形
凹レンズの虚像の相似形

△FPOと△FA’B’が相似形ですから、

A’B’/PO=B’F/OF=(f-b)/f ……(2)式

の関係にあります。

ここで、AB=POであることに着目すると(1)式と(2)式が等しいことがわかります。

つまり、

b/a=(fーb)/f

の関係にあります。

この式を変形すると、

bf=afーab

となります。

両辺をfで割ると

b=aーab/f

より

-ab/f=b-a

両辺をabで割ると

-1/f=1/a-1/b

となります。

凹レンズの場合はf<0とし、また虚像はb<0とする約束がありますので、

1/f=1/a+1/b

のように表すことができます。

レンズの倍率mは虚像の高さと物体の高さの比ですからA’B‘/ABです。これは(1)式と同じですから、次の式が得られます。

m=A’B’/AB=b/a

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