凹レンズの公式の導出－虚像

　凹レンズでできる虚像のレンズの写像公式も実像のときと同様に求めることができます。

凹レンズでできる虚像

　この図からレンズの公式を導くことができます。

　次の図で△ＯＡＢと△ＯＡ’Ｂ’が相似形であることに注目します。

凹レンズの虚像の相似形

△ＯＡＢと△ＯＡ’Ｂ’が相似形ですから、

Ａ’Ｂ’／ＡＢ＝Ｂ’Ｏ／ＢＯ＝ｂ／ａ　……（１）式

の関係にあります。

次に、下図で△ＦＰＯと△ＦＡ’Ｂ’が相似形であることに注目します。

凹レンズの虚像の相似形

△ＦＰＯと△ＦＡ’Ｂ’が相似形ですから、

Ａ’Ｂ’／ＰＯ＝Ｂ’Ｆ／ＯＦ＝（ｆ－ｂ）／ｆ　……（２）式

の関係にあります。

ここで、ＡＢ＝ＰＯであることに着目すると（１）式と（２）式が等しいことがわかります。

つまり、

ｂ／ａ＝（ｆーb）／ｆ

の関係にあります。

この式を変形すると、

ｂｆ＝ａｆーａｂ

となります。

両辺をｆで割ると

ｂ＝ａーａb／ｆ

より

－ａｂ／ｆ＝ｂ－ａ

両辺をａｂで割ると

－１／ｆ＝１／ａ－１／ｂ　……（３）式

となります。

凹レンズの場合はf＜０とし、また虚像はｂ＜０とする約束がありますので、

１／ｆ＝１／ａ＋１／ｂ

のように表すことができます。

レンズの倍率ｍは虚像の高さと物体の高さの比ですからＡ’Ｂ‘／ＡＢです。これは（１）式と同じですから、次の式が得られます。

ｍ＝Ａ’Ｂ’／ＡＢ＝ｂ／ａ

ここで（３）式を考えてみましょう。1/a  と 1/b の差分が -1/f ですから、1/a - 1/b は負の値となることがわかります。

ということは

1/b > 1 /a

ということです。つまり、

b/a ＜ １

凹レンズの虚像の倍率は常に1より小さくなります。

これは凹レンズでは物体を拡大して見ることができないことを意味しています。

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