凸レンズの公式の導出（２）－虚像

凸レンズでできる虚像のレンズの写像公式も実像のときと同様に求めることができます。

凸レンズでできる虚像

この図からレンズの公式を導くことができます。

まず、下図において△ＯＡＢと△ＯＡ’Ｂ’が相似形であることに注目します。

△ＯＡＢと△ＯＡ’Ｂ’が相似形ですから、

Ａ’Ｂ’／ＡＢ＝Ｂ’Ｏ／ＢＯ＝ｂ／ａ　……（１）式

の関係にあります。

次に、下図において、△ＦＰＯと△ＦＡ’Ｂ’が相似形であることに注目します。

△ＦＰＯと△ＦＡ’Ｂ’が相似形ですから、

Ａ’Ｂ’／ＰＯ＝Ｂ’Ｆ／ＯＦ＝（ｂ＋ｆ）／ｆ　……（２）式

の関係にあります。

ここで、ＡＢ＝ＰＯであることに着目すると（１）式と（２）式が等しいことがわかります。

つまり、

ｂ／ａ＝（ｂ＋ｆ）／ｆ

の関係にあります。

この式を変形すると、

ｂｆ＝ａｂ＋ａｆ

となります。

両辺をｆで割ると

ｂ＝ａｂ／ｆ＋ａ

より

ａｂ／ｆ＝ｂ－ａ

両辺をａｂで割ると

１／ｆ＝１／ａ－１／ｂ

となります。

虚像の場合、ｂ＜０とすると

１／ｆ＝１／ａ＋１／ｂ

のように表すことができます。

レンズの倍率ｍは虚像の高さと物体の高さの比ですからＡ’Ｂ‘／ＡＢです。これは①式と同じですから、次の式が得られます。

ｍ＝Ａ’Ｂ’／ＡＢ＝ｂ／ａ

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