凸レンズの公式の導出（１）－実像

レンズの公式というと下記の式を暗記している人も多いと思います。

この式がどのようにして導かれるのか考えてみましょう。凸レンズでできる実像の図を次に示します。

この図からレンズの公式を導くことができます。

まず△ＡＢＯと△Ａ’Ｂ’Ｏが相似形であることに注目します。

△ＡＢＯと△Ａ’Ｂ’Ｏが相似形ですから、

ＡＢ／Ａ’Ｂ’ ＝ ＢＯ／Ｂ’Ｏ ＝ ａ／ｂ　…　（１）式

の関係にあります。

次に、△ＰＯＦと△Ａ’Ｂ’Ｆが相似形であることに注目します。

△ＰＯＦと△Ａ’Ｂ’Ｆが相似形ですから、

ＰＯ／Ａ’Ｂ’ ＝ ＯＦ／Ｂ’Ｆ ＝　ｆ／（ｂ－ｆ）　…（２）式

の関係にあります。

次に、ＡＢ ＝ ＰＯ であることに注目すると、（１）式と（２）式は等しくなることがわかります。

つまり、

ａ／ｂ ＝　ｆ／（ｂ－ｆ）　

の関係にあることになります。この式を変形してみましょう。

ａｂ － ａｆ ＝ ｂｆ　

両辺を ｆ で割ると

ａｂ／ｆ － ａ ＝ b

ａｂ／ｆ ＝ ｂ ＋ ａ

両辺を ａｂ で割ると、

レンズの倍率はどのようになるでしょうか。倍率を ｍ とすると、

ｍ ＝ Ａ’Ｂ’／ＡＢ　

です。△ＡＢＯと△Ａ’Ｂ’Ｏが相似形です。ｍは（１）式の逆数ということになります。

ｍ ＝ Ａ’Ｂ’／ＡＢ　＝ ｂ／ａ

となります。

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