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2009年12月 8日 (火)

凸レンズの公式の導出(1)-実像

レンズの公式というと下記の式を暗記している人も多いと思います。

Lensequation

この式がどのようにして導かれるのか考えてみましょう。凸レンズでできる実像の図を次に示します。

Lensfig1

この図からレンズの公式を導くことができます。

まず△ABOと△A’B’Oが相似形であることに注目します。

Lensfig2

△ABOと△A’B’Oが相似形ですから、

AB/A’B’ = BO/B’O = a/b … (1)式

の関係にあります。

次に、△POFと△A’B’Fが相似形であることに注目します。

Lensfig3

△POFと△A’B’Fが相似形ですから、

PO/A’B’ = OF/B’F = f/(b-f) …(2)式

の関係にあります。

次に、AB = PO であることに注目すると、(1)式と(2)式は等しくなることがわかります。

つまり、

a/b = f/(b-f) 

の関係にあることになります。この式を変形してみましょう。

ab - af = bf 

両辺を f で割ると

ab/f - a = b

ab/f = b + a

両辺を ab で割ると、

Lensequation

レンズの倍率はどのようになるでしょうか。倍率を m とすると、

m = A’B’/AB 

です。△ABOと△A’B’Oが相似形です。mは(1)式の逆数ということになります。

m = A’B’/AB = b/a

となります。

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